NO HAY DANZA SIN MÚSICA

Para bailar es imprescindible la música, los pasos de baile se adaptan al ritmo de la música y ese ritmo se mide en compases, que es la forma matemática de medir la duración de los sonidos. No hay más que fijarse en cómo se representan los compases: con una fracción. Tenemos el compás de 2/4, de 4/4… El denominador siempre es una potencia de 2 y cuanto mayor es su valor más corta es la duración de las notas. El numerador indica cuántas notas forman cada compás.

En la música de las danzas vascas hay dos compases que no son habituales en otras culturas: el compás de 5/8, que aparece en el zortziko; y el compás de 6/8 de la Ezpata Dantza, donde se combina con el compás de 3/4.

BAILANDO A LAS ÓRDENES DE LA GEOMETRÍA

En los bailes coreografiados, como el ballet o las danzas vascas, quienes bailan se colocan de forma más o menos ordenada en el escenario o el espacio de baile. Cuando unimos sus posiciones con líneas imaginarias, se forman figuras geométricas.

En las danzas vascas aparecen a menudo circunferencias. Por ejemplo, en la Ezpata Dantza de Xemein, 12 dantzaris (bailarines y bailarinas en euskera, aunque en la Ezpata Dantza todos son hombres) forman una circunferencia en cuyo centro se coloca otro dantzari. En la Zinta Dantza son 8 las dantzaris que forman una circunferencia alrededor de un poste central.

Los poligonos también son muy habituales. A menudo, quienes bailan se colocan en dos líneas paralelas, creando así un rectángulo. Esto también ocurre en las danzas vascas, pero aquí somos unas personas mucho más creativas y podemos ver también pentágonos, por ejemplo, en la Brokel Dantza, donde un dantzari se coloca al frente de otros ocho distribuidos en dos líneas paralelas de cuatro dantzaris cada una. Incluso se puede ver un hexágono en el Txotxongilo: cuatro dantzaris se colocan en la línea central y el resto se colocan dos a cada uno de los lados, de forma que si unimos las posiciones de los dantzaris del exterior formamos un hexágono.

PERMUTANDO Y COMBINANDO DANTZARIS

La Combinatoria es una parte de las Matemáticas que estudia las posibles formas de ordenar y agrupar una serie de elementos. Para ello, a cada elemento se le asigna un número: 1, 2, 3…

Una permutación es un reordenamiento de los elementos de un conjunto y la escribimos poniendo entre paréntesis esos elementos en el nuevo orden dado por la permutación. Vamos a verlo con un ejemplo. Si tenemos el conjunto {1,2,3}, todas las posibles formas de ordenar esos números son (1 2 3), (1 3 2), (2 1 3), (2 3 1), (3 1 2) y (3 2 1). Cada una de estas ordenaciones es una permutación y en el caso de tres elementos vemos que hay 6 diferentes.

Las permutaciones aparecen en el Zortzinango, que es una parte de la Dantzari Dantza, baile típico del Duranguesado en el que intervienen ocho dantzaris. Esos ocho dantzaris se colocan por parejas, una detrás de otra, formando dos líneas paralelas, y van intercambiando sus posiciones a lo largo del baile. Asignamos números a las posiciones de los dantzaris, comenzando por quien está a la izquierda en la pareja de delante, y moviéndonos de izquierda a derecha y de delante hacia atrás. Con los primeros movimientos del baile, los dantzaris de las dos primeras parejas, que forman los vértices de un cuadrado, intercambian su posición con el dantzari que está en su misma diagonal de ese cuadrado. Lo mismo hacen los dantzaris de la parte posterior.. La permutación que llevan a cabo se representa como (4 3 2 1 8 7 6 5), porque el dantzari que estaba en la primera posición se ha movido a la cuarta, el que estaba en segunda posición ha ido a la tercera, y así sucesivamente. A continuación, cada dantzari intercambia su posición con el que tiene al lado. La permutación que representa esos cambios es (2 1 4 3 6 5 8 7). Te propongo un juego: ¿cuáles son las siguientes permutaciones asociadas a los movimientos de los dantzaris? Aquí tienes un enlace donde puedes ver la Dantzari Dantza e intentar escribir cuáles son esas permutaciones.

La Combinatoria se ocupa también de estudiar de cuántas formas diferentes se pueden elegir una cantidad determinada de elementos de un cierto conjunto. Por ejemplo, si partimos del conjunto {1, 2, 3, 4}, hay cuatro formas de elegir tres elementos: {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4}, {2,3,4}. Si en vez de 4 elementos tenemos un número arbitrario n, y en vez de grupos de tres queremos elegir grupos de k elementos, tenemos lo que llamamos combinaciones de n elementos tomados de k en k. En el Binango, otra parte de la Dantzari Dantza, solo dos de los ocho dantzaris bailan de forma simultánea, pero a lo largo del baile va cambiando quiénes bailan. Es decir, tenemos combinaciones de ocho elementos (dantzaris) tomados de dos en dos. Algo parecido ocurre en el Launango, donde son cuatro los dantzaris que bailan a la vez. En este caso, tenemos combinaciones de ocho elementos tomados de cuatro en cuatro.

TRENZAS, MATEMÁTICAS Y DANZAS

Para hacernos una trenza dividimos la melena en tres mechones y vamos pasando unos por encima o por debajo de otros, de forma ordenada y con más o menos pericia. Hay una teoría matemática que estudia y generaliza precisamente esto: la teoría de trenzas, una rama del álgebra avanzada. En la teoría de trenzas se tiene un número determinado de cuerdas que penden de una barra imaginaria y se estudia qué patrones se forman cuando se cruzan unas por encima o por debajo de otras. Esos cruces se entienden como elementos de un conjunto, y cumplen unas ciertas propiedades que dan lugar a una estructura algebraica de grupo, el llamado “grupo trenza”. Si además esa barra imaginaria, en vez de ser un segmento recto, es una circunferencia, la última cuerda se puede cruzar con la primera y se obtiene el “grupo trenza anular”.

Hay dos bailes en los que las dantzaris trenzan cintas de colores en vez de mechones de pelo. En Iruleak ocho parejas de dantzaris sujetan cintas que, durante el baile, pasan alternativamente por encima y por debajo de la pareja que tienen al lado. Si esas cintas estuviesen sujetas a una barra colocada detrás de las dantzaris, podríamos ver cómo se forma una trenza con los colores de la ikurriña. Esa trenza se puede escribir con notación matemática utilizando los elementos del grupo trenza. En el caso de la Zinta Dantza, cada una de las dantzaris sujeta una cinta que cuelga de un mástil central y la pasa por encima o por debajo de la cinta de la dantzari que está a su lado. La trenza circular que se forma sobre el mástil una vez que las dantzaris han ejecutado la primera parte del baile es bien visible y está relacionada con el grupo trenza anular.

Como prometía al principio de este artículo, os he mostrado varias conexiones entre las matemáticas y las euskal dantzak. La relación entre el baile y la geometría es, seguramente, la más visual de todas. Pero también hemos hablado de algunas ramas de las matemáticas menos conocidas, como la combinatoria y la teoría de trenzas, que, sorprendentemente, se pueden relacionar con algunas euskal dantzak. ¿Será verdad que las matemáticas están en todas partes?